M02.02 · 회전·동차변환·SO(3)/SE(3)와 쿼터니언

같은 점을 어느 좌표계에서 적는가

작업대 A와 카메라 B가 서로 다른 원점·축을 쓰면 같은 물체도 다른 숫자로 표현된다. 프레임(frame)은 이런 원점과 방향 축의 묶음이다. 이 단위에서 $^AR_B$는 B의 좌표 성분을 A의 좌표 성분으로 옮기는3×3 행렬이다. 열마다 B의 x/y/z 단위축을 A에서 표현한 값을 적는다. 원점이 같을 때 같은 점의 벡터는 $^Av={}^AR_B{}^Bv$로 바뀐다. 위첨자는 결과 또는 입력을 적은 프레임 이름이다.

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그림 M02.02-1. 프레임은 원점과 축의 묶음이다. 같은 점 P의 좌표를 B에서 A로 바꾸는 것과 점을 실제로 이동시키는 것은 다르다. +z 쪽에서 xy 평면을 본 개념도이며 수치 예제와는 별개다. 직접 제작.

이 식은 물체를 실제로 움직이지 않고 같은 기하 대상을 다른 기준으로 적는 좌표 변경이다. 같은 숫자 행렬을 한 고정 프레임의 벡터를 실제 회전시키는 능동 변환에도 쓸 수 있지만 무엇을 바꾸는지 선언해야 한다. 행렬을 보고 어느 쪽이 입력인지 추측하지 말고 “B표현→A표현”을 먼저 읽는다. 오른손 기준에서 z축 양의 회전은 +z쪽에서 원점을 향해 xy평면을 내려다볼 때 x축을 y축 쪽으로 돌리는 방향이다.

SO(3)는 모든3×3 행렬이 아니다

회전 행렬 R의 열은 길이1이고 서로 수직이어야 한다. 수식으로 $R^TR=I$이며 T는 전치, I는3×3 항등행렬이다. 여기에 행렬식 $\det R=+1$ 조건을 더한 집합을 SO(3), 특수 직교군이라고 부른다. “군”은 여기서 회전을 합성하거나 되돌려도 같은 회전 집합 안에 남는 구조를 나타낸다. 입문에서는 조건을 검사하는 뜻부터 이해하면 된다. Modern Robotics 저자 설명도 이 열벡터와 조건으로 방향을 표현한다.

라디안(rad)은 원호 길이를 반지름으로 나눈 각도 단위이며 $\pi$rad=180도다.90도는 $\pi/2$rad이고 cos=0,sin=1이다. B축이 A축에 대해 z축으로90도 돌아 있다면 다음과 같이 놓을 수 있다.

$R={}^AR_B=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}.$

첫 열은 B의 x축이 A의 y방향임을 뜻한다. 각 열의 길이1과 내적0을 확인하면 직교 조건을 읽을 수 있다. 이 R은 z행/열이(0,0,1)이어서 행렬식은 남은2×2부분으로 계산할 수 있다. 즉 det R=1×(0×0−(−1)×1)=1이다. 반사 행렬 diag(−1,1,1)의 행렬식은 대각 성분의 곱(−1)×1×1=−1이다. 열끼리 수직이어도 이 반사는 SO(3)의 회전이 아니다. 열벡터 능동 합성에서 고정축 X→Y→Z를 차례로 적용하면 오른쪽부터 작용하는 $R_zR_yR_x$가 된다. 곱을 왼쪽부터 적용한다고 읽거나 축 적용 순서의 이름을 생략하지 않는다.

원점 이동까지 묶는 동차변환

B원점의 A좌표를 $^Ap_B=(1,2,0)^T$ m라고 하자. 같은 점의 좌표는 $^Ap={}^AR_B{}^Bp+{}^Ap_B$다. 행렬을 한 번 곱하는 표기로 묶기 위해 점 좌표 끝에1을 붙인다. 이를 동차좌표라고 한다.

$^AT_B=\begin{bmatrix}R&p\\0\ 0\ 0&1\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}{}^Ap\\1\end{bmatrix}={}^AT_B\begin{bmatrix}{}^Bp\\1\end{bmatrix}.$

여기서 오른쪽 위 p는 $^Ap_B$의 약식이고 아래 행은(0,0,0,1)이다. R이 SO(3)에 있고 p가3차원 이동인 이런4×4 변환들의 집합이 SE(3), 특수 유클리드군이다. 점과 달리 순수 방향 벡터에는 이동을 더하지 않으며 동차 표현의 마지막 성분을0으로 둘 수 있다.

B에서 점(1,0,0)m는 먼저 R에 의해(0,1,0)이 되고 원점 이동을 더하면 A에서(1,3,0)m다. 되돌릴 때에는 이동을 먼저 빼고 R의 역인 $R^T$를 곱한다. 따라서 역변환은 다음과 같다.

$(^AT_B)^{-1}={}^BT_A=\begin{bmatrix}R^T&-R^Tp\\0\ 0\ 0&1\end{bmatrix}.$

이 예에서 $R^Tp=(2,-1,0)^T$라 역의 이동은(−2,1,0)이다. 단순히 원래 이동을 음수로 바꾼(−1,−2,0)이 아니다. A점(1,3,0)에서 원래 p를 빼면(0,1,0), R전치로 바꾸면 B점(1,0,0)으로 돌아온다.

C프레임도 있다면 $^AT_C={}^AT_B{}^BT_C$처럼 중간 B를 맞춰 합성한다. 오른쪽 C→B를 먼저 적용한 뒤 B→A로 간다. B와 C의 방향이 같고 C원점이 B에서(1,0,0)이면 C원점은 A에서(1,3,0)이다. 숫자 곱이 가능하더라도 프레임이 이어지지 않는 순서면 의미가 맞지 않는다.

네 성분으로 방향을 표현할 때의 계약

단위 쿼터니언은 방향을 네 성분으로 표현하는 또 다른 방법이다. 여기서는 scalar first $q=(w,x,y,z)$ 순서로 쓴다. 단위 회전축 n과 각도 θ에 대해 다음과 같이 쓴다.

$$q=(\cos(\theta/2),n_x\sin(\theta/2),n_y\sin(\theta/2),n_z\sin(\theta/2))$$

n의 길이는1이고 θ는rad다. z축90도는 θ/2=π/4이며 sin(π/4)=cos(π/4)=√2/2이므로 $(\sqrt2/2,0,0,\sqrt2/2)$로 위 R과 같은 방향 관계를 표현한다.

단위 조건은 $w^2+x^2+y^2+z^2=1$이다. 길이가0이 아닌 값은 길이로 나누어 정규화할 수 있으나,0벡터는 그렇게 회전으로 고칠 수 없다. q와 모든 성분 부호를 바꾼−q는 같은 회전을 나타낸다. 따라서 성분의 차이가 크다는 이유만으로 방향이 크게 다르다고 단정하지 않는다. 네 숫자를 쓰지만 단위 제약과 이중표현이 있어 자유롭게 독립적인 네 회전각이 아니다.

라이브러리의 성분 순서는 데이터 계약이다. ROS2 공식 튜토리얼은 메시지 성분을 x,y,z,w 순서로 다룬다. 이 단위의 q를 그 순서로 옮기면(0,0,√2/2,√2/2)다. 이름이 quaternion이라고 같아도 순서·프레임·정규화·합성 순서를 생략하면 다른 방향이 된다.

종이에 본문의 R, B원점 p=(1,2,0)m, B점 b=(1,0,0)m를 적는다.

1. 열벡터의 길이/직교·행렬식 조건과 R의 입력/출력 프레임을 적는다. diag(−1,1,1)이 왜 같은 종류의 회전이 아닌지 비교한다.
2. b를 A점으로 바꾸고 역변환으로 되돌린다. 역의 이동 −R전치p를 계산한다. C원점이 B에서(1,0,0)이고 방향이 같을 때 C→B→A 합성도 확인한다.
3. z축90도의 scalar-first q를 구하고 길이를 확인한다. ROS식 성분 순서로 다시 적고−q의 방향,0쿼터니언의 문제를 설명한다.

판정은 프레임/집합 조건, 순서 있는 좌표 계산, quaternion 계약의 세 요소다. 막히면 회전 결과와 원점 이동을 다른 줄에 쓰고, q의 네 성분 위에 w/x/y/z를 먼저 적는다. 단위를 모른 채90이라는 숫자를 삼각함수에 바로 넣지 않는다.