M02.03 · 미분·적분·Jacobian·수치 미분

두 시점의 차이에서 순간 변화율로

같은 직선 기준에서 위치 x를m, 시각 t를초로 적자. 위치 차이를 시간 차이로 나눈 값은 그 구간의 평균 속도다. t=1에서1m, t=2에서4m라면(4−1)/(2−1)=3m/s다. 이 값은 구간 전체의 평균이며 두 끝점 사이에서 항상3m/s로 움직였다는 뜻은 아니다.

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그림 M02.03-1. x=t²인 본문의 예에서 t=1~2의 평균 속도는 할선의 기울기 3 m/s다. t=1의 순간 속도 2 m/s는 접선의 기울기이며 구간 전체의 속도와 다르다. 직접 제작.

미분은 기준점 주변의 간격을 줄여 얻는 국소 변화율을 나타낸다. 기호 $dx/dt$는 시간 변화에 대한 위치 변화율이다. 교육용 함수 $x(t)=at^2$를 두고 계수 $a=1\,\mathrm{m/s^2}$라고 하자. t가초이므로 at²의 단위는m다. 이 식의 미분은 $dx/dt=2at$이며 t=2초에서4m/s다. 왜2t가 나오는지는 차분을 펼쳐 볼 수 있다.

$\frac{x(t+h)-x(t)}h=\frac{a(t+h)^2-at^2}{h}=2at+ah.$

h는0이 아닌 시간 간격이다. h가0에 가까워질 때 남는 값이2at다. 미분 가능하다는 가정 아래의 이야기이며, 튀는 값이나 센서 노이즈를 그대로 순간 물리 속도라고 부를 수는 없다. 입력이 각도라면 rad당 변화량을 쓰는 등 분모의 단위까지 따라가야 한다.

적분은 작은 변화의 누적이다

속도를 시간에 걸쳐 누적하면 위치 변화가 된다. $\int v(t)\,dt$는 시간 구간의 작은 속도×시간을 더한다는 뜻이다. 이 단위에서는 복잡한 적분법 대신 구간별 일정 속도를 이용한다.0~1초에2m/s,1~2초에3m/s로 일정했다면 변위는2×1+3×1=5m다. 시작 위치가10m였다면 끝 위치는15m다. 누적한 변위와 절대 위치를 구분한다.

속도가 음수인 구간은 반대 방향의 변위로 누적된다.0~1초에2m/s,1~2초에−3m/s이면 순변위는−1m지만 이동한 길이의 합은2+3=5m다. 실제 로그에서는 샘플 사이의 속도가 일정하다는 것도 근사 가정이다. 간격이 불규칙한데 모든 샘플에 같은 시간을 곱하거나 초기 위치를 생략하면 누적 해석이 달라진다.

여러 입력이 여러 출력을 바꾸는 비율

입력 $q=(q_1,q_2)^T$가 두 개이고 출력 $f=(f_1,f_2)^T$도 두 개인 함수를 생각하자. 아래 예제는 단위 혼합을 피하기 위해 입력과 출력 모두 무차원인 교육용 함수다.

$f_1=q_1^2+q_2,\qquad f_2=2q_1-q_2.$

편미분 $\partial f_i/\partial q_j$는 다른 입력은 그대로 두고 j번째 입력만 바꿀 때 i번째 출력의 국소 변화율이다. 이를 출력별 행·입력별 열로 모은 행렬이 Jacobian, J다. 첫 출력에서 q1을 바꾸면2q1, q2를 바꾸면1이다. 둘째 출력은 각각2와−1이다.

$J(q)=\begin{bmatrix}2q_1&1\\2&-1\end{bmatrix}.$

기준점 $q_0=(1,2)^T$에서는 f=(3,0), J=[[2,1],[2,−1]]이다. 작은 입력 변화 $\Delta q$에 대해 $f(q_0+\Delta q)\approx f(q_0)+J(q_0)\Delta q$로 근사한다. Δ는 기준점에서 얼마나 바꾸는지를 나타내는 기호다. $\Delta q=(0.1,-0.2)^T$이면 JΔq=(0,0.4)이어서 근사 출력은(3,0.4)다. 실제 식에(1.1,1.8)을 넣으면(3.01,0.4)여서 첫 성분에0.01의 차이가 남는다.

J는 그 기준점 주변의 기울기라 작은 변경을 예측하는 데 유용하다. 전 영역에서 동일한 변환표라는 뜻은 아니다. 로봇에서 위치 출력m와 관절각 입력rad를 쓰면 해당 Jacobian 원소는m/rad 같은 단위를 갖는다. 출력 좌표 표현·프레임도 맞아야 한다. Modern Robotics 서적의 Jacobian 설명는 각 열이 한 관절의 변화 기여라는 관점에서 이 구조를 확장한다. 여기서는 그 심화 수식을 외우기 전에 작은 함수로 의미를 확인한다.

수치 미분은 나눗셈의 오차도 키운다

수식을 미분하기 어렵거나 구현을 점검할 때에는 함수 값을 조금 바꿔 차분을 구할 수 있다. 앞쪽 차분은 $(f(q+h)-f(q))/h$, 중앙 차분은 $(f(q+h)-f(q-h))/(2h)$다. 어떤 입력을 바꾸는지와 h의 단위를 먼저 정한다. 여러 입력의 Jacobian을 점검하려면 한 번에 한 성분만 바꾼다.

x(t)=at²에서 t=2초,h=0.1초의 앞쪽 차분은4.1m/s로 미분값4와 다르다. 중앙 차분은 이 이차함수에서는 정확히4가 되지만 모든 함수·모든 데이터에서 정확하다는 뜻은 아니다. h를 줄이면 식의 근사 오차를 줄일 수 있는 경우가 있으나 측정 오차·반올림과 작은 값끼리의 뺄셈이 더 문제가 될 수도 있다. NumPy gradient 문서에서도 간격과 경계 처리의 의미를 확인할 수 있다.

두 위치 측정에 각각 최대0.001m 오차가 있다면 앞쪽 차분의 오차 기여는 최대(0.001+0.001)/|h|다. h=0.1초면0.02m/s,0.001초면2m/s로 커진다. 간격을 무조건 줄이는 것이 정답이 아니다. 또한 Δq를 크게 바꾸면 선형화 자체의 오차가 커질 수 있다. 수치 미분의 간격 선택과 Jacobian을 적용할 변화량 선택은 서로 관련되지만 다른 문제로 확인한다.

모든 입력은 합성 수치이며 장비를 움직이지 않는다.

1. x(t)=at²,a=1m/s²에서 t=2,h=0.1의 앞쪽 차분과 미분값을 비교한다. 구간별 속도2m/s와3m/s를 각1초 누적한 변위와 초기 위치10m일 때 끝 위치도 구한다.
2. 무차원 함수 f의 q0=(1,2)에서 J를 구성하고 Δq=(0.1,−0.2)의 근사 출력과 실제 출력을 비교한다. 출력행·입력열을 표시한다.
3. 위치 측정 오차가 각±0.001m일 때 h=0.1초와0.001초의 차분 오차 기여 상한을 계산한다. 이어 Δq=(1,0)의 근사와 실제 f를 비교해 작은 변화 예제와 차이를 설명한다.

판정은 변화/누적·Jacobian 구성·오차 원인 구분 세 요소다. 막히면 같은 기준점을 유지하고 바뀐 입력만 표시한다. 미분값을 위치나 절대각으로 오해하지 말고 결과 단위에 분모를 붙인다.