M02.01 · 벡터·내적·외적·행렬·선형 방정식

숫자 묶음에 기준과 모양을 붙이기

평면의 같은 기준점과 x/y축을 정하고 물체가 x방향2m, y방향1m만큼 이동했다고 하자. 이를 벡터 $v=(2,1)^T$라고 쓴다. T는 여기서 가로로 적은 성분을 세로 열벡터로 보겠다는 전치(transpose) 표기다. 실제 계산에서는 위에2, 아래에1인 두 행 한 열이다. 성분은 기준 축 방향으로의 양이며, 다른 좌표축의 숫자를 그대로 더하면 뜻이 달라질 수 있다.

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그림 M02.01-1. 실선은 변위 벡터, 점선은 x/y축 성분의 투영이다. x성분 2 m와 벡터 전체 길이 √5 m는 다르다. 직접 제작.

벡터의 길이인 노름은 이 평면에서 $\|v\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$ m다. 제곱근은 제곱했을 때 안의 값이 되는 음이 아닌 수를 뜻한다. x성분2와 벡터 전체 길이는 같은 양이 아니다. 같은 기준과 단위를 쓰는 두 벡터는 성분끼리 더한다. 예를 들어 $v+(1,-1)^T=(3,0)^T$다. 원소 개수가 같아도 시각과 위치처럼 다른 종류의 양을 섞은 묶음이면 이런 기하 연산의 의미를 따로 확인해야 한다.

내적은 수, 외적은 방향을 가진 벡터

같은 차원의 실수 벡터 v와 d의 내적(dot product)은 대응 성분의 곱을 더한 수다. 기호로 $v^Td$ 또는 $v\cdot d$라 쓴다. 단위 방향 $d=(1,0)^T$에 대해 $v\cdot d=2\times1+1\times0=2$ m다. d가 길이1인 방향이므로 이 값은 x방향 성분을 읽는다. 방향 벡터의 길이를2로 바꾸면 값도 두 배가 되므로 아무 벡터와의 내적을 그대로 투영 길이라고 부를 수는 없다.

3차원 오른손 기준축에서는 외적(cross product) $a\times b$가 두 입력에 수직인 벡터를 만든다. $a=(a_x,a_y,a_z)^T$, $b=(b_x,b_y,b_z)^T$일 때 성분은 다음과 같다.

$a\times b=(a_yb_z-a_zb_y,\ a_zb_x-a_xb_z,\ a_xb_y-a_yb_x)^T.$

예를 들어 두 변위 $a=(1,0,0)^T$ m와 $b=(0,2,0)^T$ m의 외적은(0,0,2) $\mathrm{m}^2$다. 입력 순서를 바꾸면(0,0,−2)가 된다. 이 결과는 이동량이 아니라 두 방향이 만드는 넓이와 법선 방향을 나타내는 기하량이다. 외적과 내적은 모두 곱이라는 말이 붙지만 결과의 차원·방향·단위가 다르다. 평면 벡터를 이번 공식에 넣으려면 z=0을 붙여3성분으로 다룬다. 소프트웨어마다 지원하는 입력 모양도 확인한다.

행렬은 입력 성분을 어떻게 섞는지 나타낸다

행렬 A가 m행 n열이면 n성분 열벡터 x를 곱해 m성분 y를 만들 수 있다. 식 $y=Ax$에서 A의 각 행과 x의 내적이 y의 한 성분이 된다. 차원으로는 $(m\times n)(n\times1)=(m\times1)$이다. 안쪽 크기 n이 맞지 않으면 그 곱은 정의되지 않는다. 행렬 곱은 단순히 같은 위치의 숫자를 곱하는 원소별 연산과 다르다.

다음 A의 계수는 단위 없는 가중치, x와 y의 성분은 모두m라고 가정하자.

$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix},\quad x=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\quad Ax=\begin{bmatrix}2\times2+1\times1\\1\times2+1\times1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}.$

A가 회전 행렬이라고 말한 적은 없다. 이 예제에서는 성분을 섞는 일반 선형 관계일 뿐이다. 숫자 표가3×3이라는 이유만으로 회전이 되는 것은 아니며 회전의 추가 조건은 다음 단위에서 확인한다. 같은 차원이어서 AB와 BA가 모두 계산되더라도 결과가 같은지는 별개다.

미지수를 찾고 식에 돌려 넣기

측정 y=(5,3)에서 x의 두 성분을 모른다면 선형 방정식 $Ax=y$를 푼다. 성분을 $x_1,x_2$라 쓰면 $2x_1+x_2=5$, $x_1+x_2=3$이다. 첫 식에서 둘째 식을 빼면 $x_1=2$, 이를 둘째 식에 넣으면 $x_2=1$이다. 마지막에 두 원식에 넣어5와3이 모두 나오는지 확인한다. 풀이 도구의 출력만 읽지 않고 입력·단위·잔차를 점검하는 습관이다.

여기서 역행렬 $A^{-1}$은 행과 열 수가 같은 n×n 정방행렬 A에 대해 $A^{-1}A=AA^{-1}=I$를 만족할 때 정의된다. 직사각형 행렬의 한쪽 역 같은 개념과 구분한다. I는 대각선이1이고 나머지가0인 항등행렬이다. 모든 행렬에 역행렬이 있는 것은 아니다. 이2×2 A는 행렬식 $2\times1-1\times1=1$이0이 아니어서 유일한 해를 갖는다. 실제 수치 계산에서는 역행렬을 직접 만들어 곱하기보다 문제에 맞는 선형해법을 쓰는 것이 일반적이며, NumPy solve 문서도 정방·full rank 조건을 명시한다. 여기서 full rank는 중복되지 않는 충분한 독립 정보가 있다는 뜻으로 이해하자.

식이 두 줄이어도 정보는 한 줄일 수 있다

$x_1+x_2=3$과 $2x_1+2x_2=6$은 같은 정보를 반복한다. (1,2)도(0,3)도 만족하므로 유일한 두 값을 찾을 수 없다. 대응 행렬은 특이(singular)해 역행렬이 없다. 둘째 우변만7로 바꾸면 첫 식을 두 배 한 값6과 충돌하므로 정확한 해가 없다. 식 개수와 독립 정보량, 해 존재 여부는 서로 다르다.

센서 잡음으로 식들이 정확히 맞지 않을 수도 있다. 그렇다고 임의의 역행렬을 강제로 적용하는 것이 해결책은 아니다. 입력 단위·좌표·중복과 잡음을 확인하고, 필요한 추가 측정이나 최소제곱 같은 다른 문제 정의를 검토한다. 그 방법은 M02.05에서 배운다. 이번 단위에서는 답 하나를 내야 한다는 압박 때문에 정보 부족이나 모순을 숨기지 않는 것이 중요하다.

같은 오른손 기준축을 쓰며 변위는m, 행렬 계수는 단위 없다고 가정한다.

1. $v=(2,1)^T$와 방향 $d=(1,0)^T$의 내적, 3차원 $a=(1,0,0)^T$, $b=(0,2,0)^T$의 외적과 순서를 바꾼 외적을 계산한다. 각 결과가 수인지 벡터인지와 단위를 적는다.
2. 본문 A와 미지의 x에 대해 y=(5,3)을 만드는 두 식을 쓰고 소거법으로 푼다. 각 행에 대입해 검산하고 곱의 차원을 적는다.
3. 중복식의 우변이(3,6)인 경우와(3,7)인 경우를 비교한다. 가능한 해의 예 또는 모순의 이유를 적고, 두 상황을 모두 “역행렬로 계산하면 된다”고 할 수 없는 이유를 설명한다.

판정은 연산 종류·차원/대입·정보 부족/모순 구분 세 요소다. 막히면 행렬 한 행과 x의 성분을 같은 색으로 묶어 곱한 뒤 더한다. 물리 단위를 생략하거나 성분 수가 맞지 않는 곱을 그대로 진행하지 않는다.