M07.04 · 주파수 응답·근궤적의 해석

얼마나 크게, 얼마나 늦게 따라가는가

시간응답이 입력을 바꾼 뒤의 변화를 보는 방법이라면, 주파수 응답은 여러 빠르기의 정현파에 대한 크기와 위상 변화를 보는 방법이다. 안정한 LTI에서 초기 과도응답이 충분히 감쇠한 뒤를 가정한다. 입력 sin(ωt)에 대해 출력은 같은 각주파수의 |G(jω)| sin(ωt+φ) 형태가 된다. j는 제곱하면 −1인 허수 단위, φ는 G(jω)의 위상이다. 일반 비선형·포화 응답에 이 모양을 그대로 보장하지 않는다.

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그림 M07.04-1. G(s)=1/(s+1), ω=1 rad/s인 본문 모델의 정상 정현파 응답이다. 초기 과도응답은 제외했다. 주파수가 달라지면 진폭과 위상도 달라진다. 직접 제작.

각주파수 ω의 단위는 rad/s이며 주파수 f(Hz)와 ω=2πf의 관계다. 1 rad/s는 1 Hz가 아니라 약 0.159 Hz다. 크기 비율을 진폭 dB로 적을 때에는 20 log10|G|를 쓴다. 이득 비율 1은 0 dB, 0.5는 약 −6.02 dB다. dB 값 자체를 단위 있는 출력 진폭이나 직접 시간 지연으로 읽지 않는다.

첫 가상 모델은 시간상수 1 s인 G(s)=1/(s+1)이다. s는 s⁻¹ 스케일의 라플라스 변수이며 식의 상수는 시간 기준을 고정한 수치다. s=jω를 넣고 분모의 크기와 각도를 읽으면 다음을 얻는다.

$$|G(j\omega)|=\frac1{\sqrt{1+\omega^2}},\qquad \phi=-\arctan\omega.$$

ω=1 rad/s에서는 G=(1−j)/2라 크기 약 0.7071, 위상 −45도=−π/4 rad, 진폭 이득 약 −3.01 dB다. ω=10 rad/s에서는 크기 약 0.09950, 위상 약 −84.29도다. 빠른 변화일수록 출력이 작아지고 뒤처지는 이 1차 모델의 특성을 읽는다. 이 값은 영구적인 일정 시간 이동을 뜻하지 않는다. 위상을 시간으로 바꾼 값은 주파수에 따라 달라질 수 있다.

이득을 바꾸면 어떤 방정식의 근이 움직이는가

근궤적(root locus)은 이득 등의 파라미터를 바꿀 때 관련 특성방정식의 근이 복소평면에서 어떻게 움직이는지 보는 방법이다. 두 번째 예제는 첫 모델과 다른 plant P(s)=1/[s(s+1)]이고 비례 이득 K와 음의 단위 피드백을 사용한다. 제어기는 u=K(r−y), plant는 y=P u다. plant의 상태를 유지하여 미분방정식을 정리하면 yddot+ydot+Ky=Kr이고, 자유응답의 특성방정식은 다음과 같다. K>0에서는 전달함수의 1+KP=0을 정리한 식과도 연결된다. K=0에서 입력 경로가 사라져도 내부 초기 상태의 모드는 별도로 검사한다.

$$s^2+s+K=0,\qquad s_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4K}}2.$$

모든 계수는 시간 s와 정규화 입력의 기준을 고정한 수치다. K는 이 예의 이득 파라미터이며 다른 물리 모델에 숫자만 옮기지 않는다. K=0.16이면 근은 −0.2와 −0.8로 서로 다른 음의 실수다. K=0.25에서는 −0.5의 중근이다. K=1이면 −0.5±j0.8660으로 감쇠 진동의 특성을 갖는다. K=0에서는 근 중 하나가 0이라 내부 자유응답의 점근 안정 조건을 통과시키지 않는다. K>0인 이 이상 2차 모델은 두 근의 실수부가 음수다.

K가 0.25를 넘으면 실수부는 계속 −0.5이고 허수부가 커진다. 따라서 이 예에서 이득을 올리면 모든 감쇠 속도가 끝없이 빨라지는 것은 아니다. 진동의 빠르기와 감쇠의 속도를 구별한다. 실제 제어기에는 지연·포화·고차 모드가 더해질 수 있어 이 단순 모델의 K>0 결론을 실제 장치의 모든 이득으로 일반화하지 않는다. 근궤적의 점은 관절 위치가 아니라 특성 근이다. 열린루프의 극과 바뀐 폐루프의 극도 다른 질문이다.

지연은 크기를 바꾸지 않아도 위상을 깎는다

순수 시간 지연 d초의 전달함수는 e^(−sd)다. d는 시간으로, 앞 단위의 정수 샘플 지연 번호와 구분한다. 주파수 응답에서는 크기가 1이고 위상에 −ωd rad가 추가된다. 예를 들어 ω=5 rad/s, d=0.2 s면 추가 위상은 −1 rad≈−57.30도다. 크기 그래프만으로 이 영향을 볼 수 없다. 샘플 시스템의 실제 지연과 유지 효과는 별도 모델이 필요하다.

폐루프에 쓰는 열린 루프 곱을 L(s)=KP(s)라고 하자. |L(jω)|=1인 이득 교차 주파수에서 위상이 −180도보다 얼마나 여유가 있는지 읽는 값이 위상 여유다. 단순한 음의 피드백과 해당 교차의 해석을 가정한다. 여러 교차·열린루프 불안정 극·숨은 모드가 있는 일반 시스템에서는 한 숫자만으로 전체 안정성을 판정하면 안 되며 Nyquist 등의 적절한 조건을 함께 검토한다.

두 번째 plant에서 K=√2면 ω=1 rad/s의 크기가 √2/(1×√2)=1이고 위상은 −90−45=−135도다. 이 교차의 위상 여유는 45도다. 여기에 d=0.2 s의 순수 지연을 더하면 크기는 같고 추가 위상은 −0.2 rad≈−11.46도라 이 교차의 여유는 약 33.54도가 된다. 지연이 줄인 것은 여기서 계산한 주파수 여유다. 이 수치로 실제 로봇의 안전·추종 오차·포화 시간을 모두 보증할 수는 없다.

지표를 기록과 연결한다

주파수 모델을 비교할 때에는 어느 입출력의 응답인지, 열린/닫힌 루프인지, 주파수 축이 Hz인지 rad/s인지, 선형화한 작동점과 단위가 무엇인지 기록한다. 잡음을 줄이려는 필터도 위상 지연을 추가할 수 있으므로 크기 억제만 보고 제어 품질이 좋아졌다고 판단하지 않는다. 모델에 맞는 시간응답·입력 한계·지연/샘플·비선형 범위를 함께 확인한다. 저자 교재의 주파수와 여유 설명과 2차 오차동역학을 이 두 가상 모델에 대조한다.

이 단위의 기본 활동은 계산이다. 실제 모터에 주파수를 바꾼 정현파 명령을 넣는 시험은 하지 않는다. 그래프가 매끈하거나 위상 여유가 양수라는 사실만으로 확인하지 않은 물리 조건을 승인하지 않는다.

입력은 첫 모델 G=1/(s+1), 두 번째 plant P=1/[s(s+1)]와 음의 단위 피드백이다. 실제 측정 자료가 아니며 모든 시간 기준은 s다.

1. 첫 모델의 ω=1에서 크기·위상·dB를 구하고 1 rad/s를 Hz로 바꾼다. ω=10의 값과 비교해 빠른 입력의 정상 응답을 설명한다.
2. 두 번째 모델의 K=0/0.16/0.25/1에서 폐루프 근을 구한다. 실수부와 허수부가 응답에서 뜻하는 것과 K 증가의 한계를 설명한다.
3. K=√2, 교차 ω=1에서 위상 여유를 구하고 지연 0.2 s를 추가한 변화를 계산한다. 이 수치 외에 실제 판정에 필요한 조건을 세 가지 제안한다.

계산기를 사용해도 되며 실제 입력을 발행하지 않는다. 막히면 두 모델을 다른 칸에 쓰고 1+KP의 부호를 먼저 확인한다. dB와 시간, Hz와 rad/s를 섞지 않는다.