어떤 상태가 미래를 결정하는가
시스템 모델에는 입력 u, 출력 y, 내부 상태 x를 구분한다. 상태는 현재값과 앞으로의 입력이 주어졌을 때 모델의 미래를 계산하는 데 필요한 변수들의 묶음이다. 위치를 출력으로 보더라도 관성계에서는 현재 속도도 미래 위치에 영향을 주므로 상태에 포함할 수 있다. 출력과 상태가 항상 같거나 센서가 모든 상태를 직접 읽는 것은 아니다.
연속 선형 시불변(LTI) 상태공간 모델은 아래 형태다. 선형은 상태와 입력의 합·배율에 대해 모델이 선형이라는 뜻이고 시불변은 A, B, C, D가 시간에 따라 바뀌지 않는다는 뜻이다. x는 n차원 열벡터, u는 입력, y는 출력이며 행렬 크기는 곱이 성립하도록 맞춘다. 시간 t는 s로 쓴다.
가상 1차 모델 ydot=−2y+2u에서 u, y는 무차원 정규화값이다. 계수 2는 시간에 대해 2 s⁻¹의 수치다. x=y로 두면 A=−2, B=2, C=1, D=0인 한 상태 모델이다. 물리 장치를 정규화했다면 기준 크기와 작동 범위를 더 기록해야 한다. 비선형 시스템을 어떤 평형 근처에서 선형화한 경우에는 그 주변의 작은 변화에 대한 모델이며 모든 자세·포화·충돌을 포함하는 것은 아니다.
전달함수에는 입출력 경로를 담는다
전달함수 G(s)는 LTI 모델의 입력과 출력 관계를 복소 변수 s로 표현한다. s는 주파수와 성장/감쇠를 다루는 라플라스 변수이며 시간 단위의 역수 스케일이다. 초기 상태가 0일 때 Y(s)=G(s)U(s)로 계산할 수 있다. U, Y는 입력/출력의 라플라스 변환이다. 여기서는 변환의 긴 증명 대신 미분의 변환이 sY−y(0)이라는 관계로 초기조건을 확인한다.
초기값이 0이 아니면 y(0)/(s+2)라는 별도 응답이 남는다. 전달함수의 입력 응답만 계산하고 기존 위치나 속도가 없었다고 가정하면 실제 초기 응답과 달라진다. 상태공간에서 같은 입력/출력 전달함수를 갖는 서로 다른 내부 표현도 가능하다. 따라서 전달함수 하나가 모든 내부 상태의 정보를 항상 보여 주는 것은 아니다. Åström–Murray 저자 교재의 상태와 전달함수 관계를 이 간단한 예로 읽는다.
시간응답의 판정 규칙을 먼저 정한다
입력이 t=0부터 1로 유지되고 y(0)=0이면 위 1차 모델의 해는 다음과 같다. 계단 입력은 이렇게 한 값에서 다른 일정 값으로 바뀌는 입력이다.
정상값은 1이고 시간상수 τ=1/2=0.5 s다. τ에서 y=1−e⁻¹≈0.6321,2τ에서 약 0.8647,4τ에서 약 0.9817이다. 시간상수는 ‘완전히 도착하는 시간’이 아니다. 이 이상 응답은 유한 시간에 정확히 1이 되지 않지만 원하는 오차 띠에 들어갈 수 있다.
정착 시간을 ‘이후 모든 시간에 정상값의 ±2% 띠 안에 머무르는 최초 시간’으로 정의하자. 이 응답은 단조 증가하므로 1−y=e⁻²ᵗ≤0.02를 풀어 t≥ln(50)/2≈1.956 s를 얻는다. 약 4τ라는 값은 이 모델의 편리한 근사다. 다른 응답의 정착 시간을 한 샘플이 띠에 처음 들어간 때로만 읽으면 다시 벗어나는 경우를 놓친다. 오버슈트는 정상값을 넘는 최대 초과를 기준 크기로 나눈 값이며 이번 단조 응답에서는 0이다. 목표값 0이나 변동하는 목표에서는 같은 백분율 정의를 그대로 적용하기 어려워 별도 지표가 필요하다.
2차 모델에서는 감쇠된 진동과 초과가 생길 수 있다. 예를 들어 yddot+2ydot+y=u도 시간 s 기준의 정규화 식이다. y와 u는 무차원이며 ydot의 계수는 2 s⁻¹, y와 u의 계수는 각각 1 s⁻²의 수치로 적었다. 이를 x=(y, ydot)로 쓰면 A의 행이 (0,1),(−1,−2), B=(0,1)ᵀ, C=(1,0), D=0이다. 근은 −1의 중근이고 영 초기조건의 단위 계단 응답은 1−(1+t)e⁻ᵗ다. 단순 지수 하나의 응답과 모양이 다르다. 저자 1차와 2차 응답의 비교에서 차수와 초기조건을 함께 본다.
안정적이라는 말의 대상을 붙인다
입력 u=0인 자유응답에서 유한 차원 연속 LTI의 모든 초기 상태가 0으로 감쇠하는 점근 안정성은 A의 모든 고유값 실수부가 음수인 조건으로 판단한다. 이산 상태 갱신 x[k+1]=A_d x[k]에서는 고유값 크기가 모두 1보다 작아야 한다. 경계값은 이 조건으로 통과시키지 않고 중복·결합·안정성 정의를 더 확인한다. M02.06의 구분을 제어 모델에도 유지한다.
입출력 전달함수만 안정적으로 보이는 것과 내부 안정성도 다르다. 가상 상태가 x1dot=−x1+u, x2dot=+x2이고 y=x1이면 영 초기조건의 G(s)=1/(s+1)에는 x2가 보이지 않는다. 그러나 x2(0)=0.01이면 x2(t)=0.01eᵗ로 커진다. 출력에 안 보이는 불안정 모드가 남은 것이다. 약분된 전달함수의 극만으로 임의의 내부 구현까지 안정하다고 결론 내리지 않는다.
연속 안정성과 수치 갱신 안정성도 구별한다. ydot=−2y의 전진 Euler는 y[k+1]=(1−2T)y[k]다. T는 샘플 간격(s)이다. T=1.2 s면 계수 −1.4라 크기가 커지지만, 같은 간격의 정확한 자유응답 계수는 e⁻²·⁴≈0.0907이다. 연속 모델은 안정적인데 거친 수치 근사가 불안정한 경우다. 실제 디지털 제어는 샘플 유지·지연·포화까지 고려해야 하므로 이 예를 모든 샘플 시스템의 동일한 허용 주기로 일반화하지 않는다. 유한 로그가 잠시 얌전하다는 관찰도 전역 안정성이나 모든 외란의 보증을 대신하지 않는다.