M06.05 · 차동·옴니·메카넘 순/역운동학

같은 속도도 표현 프레임을 확인한다

바퀴 순운동학은 바퀴 회전 속도에서 몸체 속도를 구하고, 역운동학은 원하는 몸체 속도에서 필요한 바퀴 속도를 구하는 질문으로 사용한다. 몸체 축은 x 앞·y 왼쪽·z 위, 평면 몸체 속도는 (v_x,v_y,Ω)로 정한다. v_x,v_y는 m/s, 양의 Ω는 반시계 방향의 rad/s다. 바퀴 반지름 r은 m, 바퀴 각속도 ω는 rad/s다. 엔코더가 모터 축에 있으면 기어비와 최종 디코딩 count를 먼저 바퀴 축 값으로 환산한다.

세계에서 몸체가 향한 각도를 θ라고 하면 몸체의 선속도를 회전하여 세계의 위치 변화율을 얻는다. 기구학은 이 관계를 주며 미끄럼이나 실제 추진력을 계산하지 않는다.

$$\dot x=\cos\theta\,v_x-\sin\theta\,v_y,\qquad \dot y=\sin\theta\,v_x+\cos\theta\,v_y.$$

차동 모델은 반지름이 같은 두 일반 바퀴가 같은 축 위에 있고, 구름 방향과 횡방향에 이상적인 무미끄럼 접촉이 있다고 가정한다. 양의 좌/우 바퀴 속도는 모두 전진을 뜻한다. b는 두 접촉점의 전체 간격이다. 몸체 기준점은 두 바퀴의 중간이고 이 모델의 v_y는 0이다.

$$v_x=\frac r2(\omega_R+\omega_L),\qquad \Omega=\frac r b(\omega_R-\omega_L),$$ $$\omega_L=\frac{v_x-b\Omega/2}{r},\qquad \omega_R=\frac{v_x+b\Omega/2}{r}.$$

r=0.05 m,b=0.30 m,ω_L=4,ω_R=8이면 v_x=0.3 m/s,Ω≈0.667 rad/s다. θ=90도면 순간 세계 속도는 (0,0.3) m/s다. 바퀴 회전에서 계산한 이 값은 접촉 가정이 맞을 때의 모델 속도다. 실제 이동을 독립 센서로 검증한 결과와 구별한다.

3옴니는 배치를 식으로 고정한다

아래 3옴니 모델은 중심에서 각 바퀴까지 거리 R, 같은 반지름 r을 사용한다. 바퀴의 양의 구동 방향 각 β_i는 몸체 +x에서 0/120/240도다. 각 위치를 (R sin β_i,−R cos β_i)로 정의하여 세 바퀴가 원 둘레의 접선 방향으로 구동되게 한다. 각 바퀴의 롤러 방향은 주 구동에 수직으로 자유롭고 구동 방향에는 미끄럼이 없다고 가정한다. 이 배치를 모르는 다른 로봇에 계수를 그대로 옮기지 않는다.

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그림 M06.05-1. 오른쪽은 위치 (R sinβ,−R cosβ), 구동 방향 β=0/120/240°인 본문의 3옴니 모델이다. 화살표는 각 바퀴의 양의 주 구동 방향이며 차체가 언제나 그 방향으로만 움직인다는 뜻은 아니다. 왼쪽 차동 모델은 이상 무미끄럼에서 vy=0이다. 직접 제작.

$$\omega_i=\frac{\cos\beta_i\,v_x+\sin\beta_i\,v_y+R\Omega}{r}.$$

선속도의 바퀴 구동 방향 성분과 회전에 의한 접선 성분을 더하고 반지름으로 나눈 것이다. 역으로 세 바퀴의 값을 조합하면 다음과 같다. 바퀴 번호는 β 순서의 0/1/2다.

$$v_x=\frac r3(2\omega_0-\omega_1-\omega_2),\qquad v_y=\frac r{\sqrt3}(\omega_1-\omega_2),$$ $$\Omega=\frac r{3R}(\omega_0+\omega_1+\omega_2).$$

r=0.1 m,R=0.2 m에서 v_x=0.2 m/s,v_y=0,Ω=0이면 바퀴는 (2,−1,−1) rad/s다. 순계산에 넣으면 v_x=0.1(4+1+1)/3=0.2, v_y=0,Ω=0을 복원한다. 순수 회전 Ω=1 rad/s라면 세 바퀴가 모두 2 rad/s다. 음수 속도가 있다고 고장으로 판정하지 않고 정한 방향의 반대 회전으로 읽는다.

4메카넘은 임의의 네 숫자가 모두 일관되지 않는다

메카넘은 롤러 방향·바퀴 장착·번호에 따라 부호가 달라진다. 여기서는 앞왼쪽 FL,앞오른쪽 FR,뒤왼쪽 RL,뒤오른쪽 RR의 순서와, 양의 속도가 모두 몸체 전진에 기여하는 부호를 쓴다. 중심에서 바퀴까지 앞뒤 거리 l_x와 좌우 거리 l_y의 합을 k=l_x+l_y로 둔다. 전형적인 45도 롤러의 다음 가상 배치를 모델 계약으로 정한다.

$$r\omega_{FL}=v_x-v_y-k\Omega,\qquad r\omega_{FR}=v_x+v_y+k\Omega,$$ $$r\omega_{RL}=v_x+v_y-k\Omega,\qquad r\omega_{RR}=v_x-v_y+k\Omega.$$

이 식을 더하고 빼면 몸체 값을 얻는다. 측정값이 정확히 모델에 맞지 않을 때 다음 조합은 같은 가중치의 최소제곱 추정이지만 실제 운동의 확정값은 아니다.

$$v_x=\frac r4(\omega_{FL}+\omega_{FR}+\omega_{RL}+\omega_{RR}),$$ $$v_y=\frac r4(-\omega_{FL}+\omega_{FR}+\omega_{RL}-\omega_{RR}),$$ $$\Omega=\frac r{4k}(-\omega_{FL}+\omega_{FR}-\omega_{RL}+\omega_{RR}).$$

r=0.1 m,k=0.4 m에서 (v_x,v_y,Ω)=(0.2,0.1,0)이면 바퀴는 (1,3,3,1) rad/s다. 순식에 넣으면 원래 값을 복원한다. 네 바퀴로 세 몸체 성분을 만들기 때문에 임의의 네 속도를 주면 이상 구름과 일관되지 않을 수 있다. 이 배치에서는 ω_FL+ω_FR=ω_RL+ω_RR가 필요하다. 바퀴 기록 (1,3,3,2)는 좌변 4,우변 5라 일관되지 않는다. 추정값을 구한 뒤 바퀴 속도로 재구성한 잔차를 확인해야 한다. 단위·번호·시각·미끄럼·센서 오류 등 여러 원인이 가능하므로 잔차만으로 하나를 확정하지 않는다.

각 바퀴 한계도 몸체 요구를 제한한다. (1,3,3,1)의 크기 상한이 2 rad/s면 두 바퀴가 넘는다. 공통 비율 2/3으로 요구를 줄이면 바퀴는 (2/3,2,2,2/3),몸체는 약 (0.1333,0.0667,0)이 된다. 이 선형 모델에서는 방향 비율을 유지하지만 가속·접촉·하중·실제 제어의 충분 조건은 아니다. 각 바퀴를 따로 잘라 버리면 원래 속도 비율과 몸체 요구가 달라질 수 있다. 저자 바퀴 모델과 한계 설명을 연결해 이 전제들을 확인한다.

세 가상 모델은 본문의 배치·단위·부호를 사용한다. 접촉과 바퀴 치수는 이상적으로 정확하다고 가정하되 독립 위치 관측은 없다.

1. 차동 r=0.05 m,b=0.30 m,ω_L=4,ω_R=8에서 몸체 속도를 구하고 θ=90도의 세계 속도로 옮긴다. 역식으로 바퀴 값을 복원한다.
2. 3옴니 r=0.1 m,R=0.2 m의 요구 (0.2,0,0)과 메카넘 r=0.1 m,k=0.4 m의 요구 (0.2,0.1,0)에서 바퀴 속도를 구하고 순식으로 복원한다.
3. 메카넘 한계 2 rad/s를 검사하고 공통 축소 뒤 몸체 요구를 계산한다. 별도 기록 (1,3,3,2)의 일관성을 검사하고 추가로 필요한 관측을 제안한다.

종이 계산만 수행한다. 막히면 바퀴 순서와 부호를 먼저 쓰고 반지름과 간격의 뜻을 확인한다. 실제 엔코더 로그를 주어진 가상 모델의 계수와 섞지 않는다.